静的コード解析の会で停止性検証について発表してきた
静的コード解析の会#2でVeriFastによる停止性検証の導入の話をしてきました*1。
本当は私自身も発表するほど分かってないのですが、それでも楽しい部分はあるので「これまで理解している内容を詰め込んでみた」という感じでまとめてみました。(前日深夜から突貫だったので超眠かった…)
今回の発表で伝わったかは怪しいですが、停止性のために最低限の機能を導入し、既存の機能を活かした仕組みはとても素晴らしいと思います。
楽しい部分を端的に挙げると、
- 多重集合のある種の順序関係からどんどん「関数を呼ぶ権利」が出てくる
- 関数の順序関係をコード上の大小関係で決めた
まぁこれだけ聞いても絶対分からないので、詳しく知りたい方はModular termination verificationを読みましょう。
振り返り
前回に引き続きVeriFastの話ですが、今回の内容は前回と比べて取っつきにくい内容でした。
理論的にも難しい割には、そもそも停止性なんて検証して何がうれしいのかから分かりづらいと思い、検証のモチベーションから始めています。
VeriFastでは動的束縛を伴う(=関数ポインタを使った)関数の相互再帰関数といった、かなり複雑な関数の停止性を検証することが出来ます。が、発表としては面白い具体例をほとんど出せなかったのは悔やまれるところです。
他の人の発表では @tanaka_akr さんのCoq2Cの話を聞き逃したのが残念でした…。
静的コード解析の会 第0回 でVeriFastについて発表してきた
#静的コード解析の会 第0回でC言語(とJava)の検証器であるVeriFastについて発表してきました。
資料は公開してあるので興味ある人は見てください。動画もあります。
> https://metasepi.connpass.com/event/42141/presentation/
結構(私の理解が)きわどい質問も出ましたが、大体伝えたかった内容は伝わったんじゃないかと思います。
個人的には手ぶらで(ぐだぐだ)発表したProofSummit2016のリベンジでもあったので資料はかなり頑張って作りました。(内容は全然違いますが
本当に詳しく知りたい人は公式チュートリアル読むべきなのですが、これは結構ヘビーな量と内容です。これに対して私の発表は「忙しい人向けの入門」といった感じなのでお気軽にどうぞ(^^)
他の発表について
CSPというのを初めて知りました。プロセス代数というのは(多分大学生の時に)聞いたことはあったんですが、通信するプリミティブがあるなぁ、くらいのことしか分かりませんでした。
今になって説明を聞くと、多少理論的な話や記号が出てもビビらなくなったし、なんとなく理解できる部分も増えていたので嬉しみがありました(なお、日本語力は低下したもよう…)
あとCMLに似てますね(これは多分関係が逆だけど)。
自分がここ数年多少なりとも理論的な話として勉強してきた内容は、主に(型付き)ラムダ計算とその意味論だったので、実装でも仕様でもない(あるいはどちらにもなる？)ものと意味論を扱うというのは新鮮でした。
他には具体的に気になったものとしてトレース意味論というのが紹介されていました。これはプログラムの副作用を形式的に扱う方面でも出てきてよく分からなかったんですが、CSPでの扱いはかなり明快だなという感じを受けました。(プロセス間の作用が初めから限定されているから当たり前か？
あとは「coinductive」という単語も出ていたので、それを持ち出す気持ちくらいは知りたいなという感じです。
気になるワードは他にも幾つか出ていたので忘れないうちにフォローしておきたいですね。
最後にInferですが、やはり残念だという結論のようです…。
個人的には少なくともFalse Positiveは出てほしくないですねぇ。
ヒューリスティクスでなく理論的基礎がしっかりしているということに期待出来る/したいのはそこだと思うので。
次回
来年(2017)の2月に第1回を開催するみたいです。
私もネタはあるので体力があれば発表するかも知れません。
古の商用SML処理系MLWorksを動かす
2016年現在SMLの処理系はいくつもありますが、昔はMLWorksという商用の処理系がありました。
MLWorksは開発元のHarlequinが潰れて2000年くらいに姿を消していたのですが、突然2013年にオープンソースになりgithub上に公開されました。
実働していた頃は様々な環境で動作していたようですが、githubに公開当初は想定している動作環境自体が古すぎてビルド自体が困難な状態でした。現在ではellerhさんのおかげでLinux(x86)上でビルド;動作するようになっています。
ちょっとした修正を取り込んでもらってCentOS上での動作が確認できたので紹介します*1。
ちなみにこのHarlequinという会社、90年代後半の時点でMLで仕事してたのに加えてバージョン管理に内製のDVCSを使ったりしてたそうで楽しそうですね。(もう無いけど
ビルド
現在ではLinux上でsmlnjからbootstrapできます*2。
(大抵の人には)面倒な事にビルドにはlibXtとMotifが必要です。
$ git clone https://github.com/ellerh/mlworks.git $ cd mlworks mlworks$ git checkout --track origin/mono-array-slices # commit:75393c4 mlworks$ cd src mlworks/src$ make ARCH=I386 OS=Linux bootstrap
起動
今のところinstallターゲットはありません。
起動するには以下のようにします。
mlworks/src$ XUSERFILESEARCHPATH=app-defaults/MLWorks-mono LD_LIBRARY_PATH=rts/bin/I386/Linux/ rts/bin/I386/Linux/main-g -MLWpass xx -load images/I386/Linux/guib.img xx [-tty]
mainてファイル名はどうかと思う…。
`-tty` をつけて起動するとCUIのREPLが、付けずに起動するとMotifを使った対話環境が起動します。
ttyb.img を直接指定してもターミナル上で起動できます。
mlworks/src$ LD_LIBRARY_PATH=rts/bin/I386/Linux/ rts/bin/I386/Linux/main-g -MLWpass xx -load images/I386/Linux/ttyb.img xx MLWorks 2.1 Professional Edition Copyright (C) 1999 Harlequin Group plc. All rights reserved. MLWorks is a trademark of Harlequin Group plc. MLWorks> print "Hello, MLWorks!\n"; Hello, MLWorks! val it : unit = ()
以上
意外とあっさりREPLが動くので気が向いた人は触ってみましょう。
MLKitの謎のバグを修正してaobenchが動くようにした
AObench-SMLがSMLの処理系の一つであるMLKitに対応しました。
これまではMLKitにバグがあり、実数の指数表現リテラルのうち小文字の'e'を使ったもの(e.g. 2e3 10e~5 など)が使えませんでした。
単にレキサの規則が足りてなかっただけなんですが(基本的過ぎて)謎ですね。だれも気付かなかった…？
ま、ともかくこれの修正がマージされたのでmlkitでaobenchが動くようになりました！
自分で動かしてみたい方は、現時点でのMLKitの開発ヘッド(commit:1365653)以降でお試しください。
私の手元での実行結果を張っておきます。
動作環境は32bit Linuxです。
| 処理系 | real | user | sys |
|---|---|---|---|
| gcc | 0m3.846s | 0m3.846s | 0m0.006s |
| smlnj | 0m9.545s | 0m9.384s | 0m0.041s |
| mlton | 0m6.029s | 0m5.927s | 0m0.029s |
| mlkit | 0m26.194s | 0m25.850s | 0m0.037s |
| smlsharp2.0.0 | 0m31.322s | 0m30.846s | 0m0.089s |
| polyml | 0m12.467s | 0m12.062s | 0m0.261s |
注) SML#は更新できてないので2.0.0を使ってますがSML#の最新版は3.0.1です。
polymlが意外と健闘してるという印象ですが、mlkitはちょっと振るわないですねぇ。
配列を持ちまわってヘビーループで書き換えるベンチマークなのでメモリアロケート周りを工夫しているmlkitには不利なのかも知れません。
QCheckをSML#に対応させた
以前紹介したSML版QuickCheckであるところの QCheck を
SML#3.0.1で動作できるようにしてマージされましたヽ(ﾟｰﾟ*ヽ)(ﾉ*ﾟｰﾟ)ﾉ*1！！
そのマージに続いていくつか変更があって現在バージョンが v1.2 に上がっていますので今後はこれを使いましょう。
#どうでもいいけどREADMEにtravisバッジとか付いたら途端にそれらしく見えますよね
セットアップ
まずビルド方法ですが、これは make するだけです。
$ make -f Makefile.smlsharp
付属のBasisのテストも移植しました。
$ make -f Makefile.smlsharp test
恐らくString/from-toがいくつかfailしますが、これはBasisの仕様です(ﾟ∀ﾟ)。*2
使い方
QCheck のトップレベルのインターフェースファイル(qcheck.smi)を require します。
(* test.smi *) _require "basis.smi" _require "/path/to/qcheck.smi"
QCheck.checkGenを呼ぶコードを書きます。(コード例は前回と同じ)
(* test.sml *) structure Test = struct open QCheck (* 実装した(テストしたい)関数 *) fun succ x = x + 1 fun even x = x mod 2 = 0 fun odd x = x mod 2 = 1 (* 満たすべき性質 *) fun even_xor_odd x = even x <> odd x val int = (Gen.Int.int, SOME Int.toString) (* Check *) val _ = checkGen int ("even<>odd", pred even_xor_odd) end
後はリンクして実行するだけ。
$ smlsharp -I /path/to/qcheck.smi -o test test.smi $ ./test even<>odd..............ok (100 passed)
Infer Introduction
C言語の静的自動検証器である Infer の使い方がある程度分かってきたので紹介します。
Infer
Infer は、C言語(or [C++, Obj-C, Java])の検証器で、
自動で特定の種類のバグを発見してくれます。発見できるバグとして分かり易い例ではリソースリークを発見できます。
元々Inferを開発した会社をFacebookが買収してオープンソースになりました。(https://github.com/facebook/infer)
スマートフォン向けアプリの検証に使っているようです。
追記: 勘違いしてましたが C++サポートはこれからのようです。> https://github.com/facebook/infer/issues/24
Separation Logic(分離論理)
InferはSeparation logicという意味論に沿って静的検証を実行します。Separation logicというのは、Hoare logicを拡張した意味論で、共有された変更可能なデータやアドレスに対する算術演算を意味論で(うまく)扱うために考案されました。
適当に言えば「ポインタが扱える意味論」だと理解しています。(ものすごくいい加減な理解なので鵜呑みにしてはイケナイ)
適用例
実際的といえるかはかなり怪しいですが、aobench.c をそのままInferに渡してみたところ、2箇所のリークを見つけ修正しました。> aobench.cの修正
かなり簡単な例ですが、これくらいは全自動で見つかります。
Inferの使い方
Inferを使う最も単純な方法は、コンパイルのコマンドをそのまま infer コマンドに引き渡す方法です。
$ infer -- clang -c <input.c>
Makeを使っている場合は make コマンドごと引き渡すだけでよいです。
$ infer -- make
使用例
最も簡単な部類の使用例を示します。
// simple.c #include <stdlib.h> int main () { int * p = malloc(4); return 0; }
このコードをinferに渡す。
$ infer -- gcc simple.c Starting analysis (Infer version v0.8.0-44a6bf7) F. Analyzed 1 file Found 1 issue simple.c:4: error: MEMORY_LEAK memory dynamically allocated to p by call to malloc() at line 4, column 12 is not reachable after line 4, column 12 2. 3. int main () { 4. > int * p = malloc(4); 5. return 0; 6. } 7. Summary of the reports MEMORY_LEAK: 1
自明なバグですが、メモリリークが見つかってますね。
アノテーションの記述
以下のコードについて考えます。
// pass.c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int * new_int (int x) { int * p = malloc(sizeof(int)); if (p == NULL) exit(1); // (1) *p = x; // (2) return p; } int main () { int * p = new_int(42); printf("%d\n", *p); free(p); return 0; }
このコードには(Inferが報告する)バグはありません。
Inferが(1)のexitでプログラムが終了することを知っているため、(2)のデリファレンスが常に安全だと分かるからです。
しかし次のコードを見てください。
アロケーションに失敗した場合にライブラリ関数を呼び出して終了するコードです。
// ext.h // exit(3)のラッパー void lib_exit(int c); // ライブラリの提供する関数のシグネチャ // fail.c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "ext.h" int * new_int (int x) { int * p = malloc(sizeof(int)); if (p == NULL) lib_exit(1); // 終了することが分からない *p = x; return p; } int main () { int * p = new_int(42); printf("%d\n", *p); free(p); return 0; }
これを検証しようとすると…
$ infer -- gcc -c fail.c Starting analysis (Infer version v0.8.0-44a6bf7) F.. Analyzed 1 file Found 1 issue fail.c:9: error: NULL_DEREFERENCE pointer p last assigned on line 7 could be null and is dereferenced at line 9, column 2 7. int * p = malloc(sizeof(int)); 8. if (p == NULL) lib_exit(1); 9. > *p = x; 10. return p; 11. } 12. Summary of the reports NULL_DEREFERENCE: 1
NULL_DEREFERENCE バグが報告されました。
Inferには lib_exit の実装が見えないため、該当箇所のデリファレンスが安全だということが分かりません。
そこで以下のようにします。
// fail2pass.c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "ext.h" #include "infer_builtins.h" // (1) int * new_int (int x) { int * p = malloc(sizeof(int)); if (p == NULL) lib_exit(1); INFER_EXCLUDE_CONDITION(p == NULL); // (2) *p = x; return p; } int main () { int * p = new_int(42); printf("%d\n", *p); free(p); return 0; }
検証してみると…？
$ infer -- gcc -I ../../infer/models/c/src -c fail2pass.c Starting analysis (Infer version v0.8.0-44a6bf7) F.. Analyzed 1 file No issues found
エラーが無くなりました。
(1) で導入されるマクロ INFER_EXCLUDE_CONDITION を (2) で使用しています。
これは読んで字のごとく、指定した条件は「起きるはず無い(ので考えなくていいよ)」*1という指定です。
この指定によって Infer は p のNULLデリファレンスが起きないことが分かるので、エラーは報告されなくなります。
外部ライブラリを含むコードの検証
外部ライブラリを含むプロジェクトの場合も上の方法で Infer は正常に実行できますが、
コンパイラから実装が見えない(i.e. ヘッダしか見えない)関数が使用されている場合、それらの関数について必要な情報が得られないので、自明なバグでも発見できないことがあります。
ライブラリ関数を呼び出す箇所に INFER_EXCLUDE_CONDITION 等のアノテーションを書いてまわってもいいですが、冗長ですし、アノテーションの大半は通常の関数呼び出しとして提供されているため、実装コードと共存出来ない可能性があります。
これらの関数(e.g. 外部ライブラリの提供する関数)を使用するコードを検証するためには、
Infer が必要な性質が導出できるような関数の実装を(本物の実装とは)別に与える必要があります。この実装のことをモデルと呼びます。
標準(あるいは標準的な)ライブラリで提供される関数のモデルは Infer の一部として提供されており、/path/to/infer/infer/models/c/src/ 以下にあります。(これらは明示的な指定無しでもデフォルトで参照されます)
以下のようなコードを考えます。(ヘンな例ですいません…)
// extlib.h int getStatus (void); // uselib.c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "extlib.h" char const * stName (void) { switch (getStatus()) { case 0: return "St 0"; case 1: return "St 1"; case 2: return "St 2"; } return NULL; } int main () { char const * s = stName(); printf("%c\n", s[3]); return 0; }
$ infer -- gcc -c uselib.c Starting analysis (Infer version v0.8.0-44a6bf7) F.. Analyzed 1 file Found 1 issue uselib.c:17: error: NULL_DEREFERENCE pointer s last assigned on line 16 could be null and is dereferenced at line 17, column 17 15. int main () { 16. char * s = stName(); 17. > printf("%c\n", s[3]); 18. return 0; 19. } 20. Summary of the reports NULL_DEREFERENCE: 1
extlib で提供される getStatus 関数からは 0, 1, 2 のどれかの値しか戻りませんが、Infer には実装が見えないのでそれが分かりません。
そこで以下のようにモデルを与えます。
// mylib.c #include "extlib.h" // 本物のヘッダ #include "infer_builtins.h" int getStatus (void) { // 何が返って来るか知らない int s = __infer_nondet_int(); // けどとにかく !(s < 0 || 3 <= s) が成り立つよ INFER_EXCLUDE_CONDITION(s < 0 || 3 <= s); return s; }
モデルを解析。(infer/ 以下に解析結果が出力されます)*2
$ INFER_ANALYZE_MODELS=1 infer -o infer --models_mode --no_failures_allowed -- gcc -I ../../infer/models/c/src -c mylib.c
モデルの解析結果を参照して検証。
$ infer --specs-dir infer/specs -- gcc -c uselib.c Starting analysis (Infer version v0.8.0-44a6bf7) F.. Analyzed 1 file No issues found
エラーが出なくなりました(｀・ω・´)
このようにライブラリの提供する関数の性質を現すモデルを記述することで、より精度の高い静的解析が出来ます。
所感
Inferを使用するためには、対象とするコードにアノテーションの類を追加する必要がほぼ無いので簡単に利用できるように見えました。
が、外部ライブラリに依存しようとすると(つまり普通の開発として想定される状況だと)検証用のモデル(関数)を別ファイルで記述する必要があって、これが全く簡単ではないです((命題を直接書くわけではないから自明でもないし、ドキュメントも無い(#・∀・)))。
モデルはC言語で書く必要がありますが、
これは命題を直接書くわけではなくて、Inferが必要な命題を導出できるようなコードを書かないとイケナイ。これはとても迂遠に感じます。
ただし良さもあって、標準ライブラリの範囲(mallocとかfopen)か、あるいはモデルを記述してあれば単純なリソースリークを全自動で見つけてくれるのでお手軽ではあります。
他に、make に渡せばまともな規模のコードのビルド手順にも手を入れる必要が無いというのは良い点ですね。
まとめると、とりあえずmakefileだけ書いてあれば使用出来るので導入してみても良さそうです。
ただし外部ライブラリまで含めてまじめに検証したい場合は頑張ってモデルを記述する必要があるので、多少手間が掛かる。頑張れ。
インストール
LLVMのプラグイン(facebook-clang-plugins)を使用するので自分でビルドするのは時間が掛かりますが、
LLVMのバージョンに強く依存するので既存の環境を使わず、素直に全部ビルドした方がよさげです。
私は CentOS7 (x86_64) で動作を確認しています。
というか、おとなしく公式バイナリ http://fbinfer.com/docs/getting-started.html 使いましょう。
おまけ
文中で使用している INFER_EXCLUDE_CONDITION マクロですが、実装がちょっと面白いです。
#define INFER_EXCLUDE_CONDITION(cond) \ if (cond) \ while (1)
なるほどねー、という感じですよね。
無限ループはボトム(False？)(なのでその分岐は何も考えなくてよい)を体現してます。
ちなみに自分で同じマクロを書いてもちゃんと動作します。
z3sml リリース！
この記事は MLアドベントカレンダー 12日目の記事です。
SML# 向けに Z3 というライブラリのバインディングライブラリ z3sml をリリースしました。
Z3 は SMT*1ソルバ(もしくは単にSMT) と呼ばれる種類のソフトウェアで、ある種類の制約充足問題を自動で解くことが出来ます。
z3sml を使うと、SML#からZ3のC言語インターフェースにアクセスすることが出来るようになります。
SMTとは
SMTソルバは(原則)一階述語論理の制約充足問題を扱う様々な理論ソルバの寄せ集めです。
同じく制約充足問題を扱うSATソルバが命題論理(bool式)しか扱えないのと比べて、様々な理論が使えるため問題のエンコードが簡潔かつ直接的に行えます。
参考 SATソルバーの基礎
ユースケース
- パズル
- SMTのデモとしてよく引き合いに出されるのは数独やピクロスと始めとするパズルソルバの実装です。これらのパズルはルールが単純でSMTソルバの入力としてエンコードしやすく、また解が列挙出来るためSMTで扱えることも明らか[要出典]です。何かを線で繋いだり囲んだりする類のパズルでも制約の記述を工夫すると解けるようです。
- 自動定理証明
- SMTソルバは自動定理証明器としても扱えます。そもそも最初から定理証明器として作られるSMTソルバもあります。どのように定理証明が出来るかというと、まず対象の命題(P)の否定(¬P)をSMTソルバに与えます。 するとSMTソルバは命題(P)の反例を探索することになります。ここで解が見つからない場合は命題(P)の反例が無いことになり、その命題(P)が常に成り立つ事が分かり、証明終了。…となります。
- 型推論器
- 我々(誰？)にとって重要なのはこれですよね。SMTソルバは型推論にも使うことが出来る…見込みです*2。型推論というのは、与えられたターム(型の付いてないプログラム)から得られた型についての方程式を解くことで型を決定する仕組みです。よく知られたMLやHaskell系の型推論では、高速に解ける範囲の問題に収まるように型の表現力を制限していますが、この制限を緩めて(一部を)SMTソルバに力業で解かせることでより詳細な(?)型を扱うことが出来るようになります。
- その他
- 最近では最強のボジョレーを求めることも出来るようです :)
Z3とは
Z3はマイクロソフトの研究所(MSR)が作成している高速なSMTソルバです。
いきなりトップに
Z3 is a theorem prover from Microsoft Research.
と書いてあるので実際定理証明器ですね。
でもz3のスライドを見るとテストケースの生成に使ってるとか書いてあるし、F*にも使ってるし、いろいろ使える普通のSMTソルバです。
公式に C, C++, OCaml(!!), Pythonインターフェースが提供されています。が、公式的にはpython推しっぽい気がします。
z3smlとは
今回リリースした z3sml はSMLから z3 の機能を使用できるようにしたバインディングライブラリです。
このライブラリでは SML# から z3 の全機能(v4.3.2時点^^;;)を使用できるようにバインディングが提供されています。
エラー通知やプラグイン周りのAPIが関数ポインタを要求しますが、SML# のFFIでは任意の(型の合う)クロージャを関数ポインタに変換してC側に渡せるため、これらも含めてSMLのコードだけで Z3 の機能を使うことが出来ます。*3
ビルドして動かす
ビルドするには SML# と Z3 をインストールした上で z3sml のディレクトリで make するだけです。
sample ターゲットを指定するとサンプルが実行されます。
これは公式で提供されているC APIのサンプルをほとんどそのまま含んでいるので参考にしてください。
$ make (* ビルド *) $ make sample (* サンプルを動かす *)
使い方
自分のコードから使うにはトップ階層の z3.smi を _require するだけです。
実行する際には libz3.so が動的にリンクできる必要があります。
(* sample.smi *) _require "z3.smi" (* sample.sml *) open Z3 fun main () = ...
$ smlsharp -Iz3sml/src -o sample sample.smi
コード例(数独ソルバ)
id:suer さんのSMT solver 入門の例をパク^H^H参考にした数独ソルバをz3smlで書いた例を以下に示します。
(コード全体はもう少し長いので省略…。全体は example/example3.sml としてリポジトリに入ってるのでそちらを参照。)
open Z3 (* いろいろ準備を省略 *) fun solve () = with_context (fn ctx => let fun Var id = int_var ctx id fun Int v = Z3_mk_int (ctx, v, Z3_mk_int_sort ctx) infix 4 == <> >= <= fun p == q = Z3_mk_eq (ctx, p, q) fun p <> q = Z3_mk_not (ctx, p == q) fun p <= q = Z3_mk_le (ctx, p, q) fun p >= q = Z3_mk_ge (ctx, p, q) fun && xs = Z3_mk_and (ctx, Vector.fromList xs) fun assert p = D.Z3_assert_cnstr (ctx, p) val x11 = Var "v11" val x12 = Var "v12" val x13 = Var "v13" val x14 = Var "v14" val x21 = Var "v21" val x22 = Var "v22" val x23 = Var "v23" val x24 = Var "v24" val x31 = Var "v31" val x32 = Var "v32" val x33 = Var "v33" val x34 = Var "v34" val x41 = Var "v41" val x42 = Var "v42" val x43 = Var "v43" val x44 = Var "v44" in (* domain *) assert (&& [(Int 1 <= x11), (x11 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x12), (x12 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x13), (x13 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x14), (x14 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x21), (x21 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x22), (x22 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x23), (x23 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x24), (x24 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x31), (x31 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x32), (x32 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x33), (x33 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x34), (x34 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x41), (x41 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x42), (x42 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x43), (x43 <= Int 4)]); assert (&& [(Int 1 <= x44), (x44 <= Int 4)]); (* distinct row *) assert (&& [(x11 <> x21), (x11 <> x31), (x11 <> x41), (x21 <> x31), (x21 <> x41), (x31 <> x41)]); assert (&& [(x12 <> x22), (x12 <> x32), (x12 <> x42), (x22 <> x32), (x22 <> x42), (x32 <> x42)]); assert (&& [(x13 <> x23), (x13 <> x33), (x13 <> x43), (x23 <> x33), (x23 <> x43), (x33 <> x43)]); assert (&& [(x14 <> x24), (x14 <> x34), (x14 <> x44), (x24 <> x34), (x24 <> x44), (x34 <> x44)]); (* distinct column *) assert (&& [(x11 <> x12), (x11 <> x13), (x11 <> x14), (x12 <> x13), (x12 <> x14), (x13 <> x14)]); assert (&& [(x21 <> x22), (x21 <> x23), (x21 <> x24), (x22 <> x23), (x22 <> x24), (x23 <> x24)]); assert (&& [(x31 <> x32), (x31 <> x33), (x31 <> x34), (x32 <> x33), (x32 <> x34), (x33 <> x34)]); assert (&& [(x41 <> x42), (x41 <> x43), (x41 <> x44), (x42 <> x43), (x42 <> x44), (x43 <> x44)]); (* distinct 2x2 block *) assert (&& [(x11 <> x12), (x11 <> x21), (x11 <> x22), (x12 <> x21), (x12 <> x22), (x21 <> x22)]); assert (&& [(x13 <> x14), (x13 <> x23), (x13 <> x24), (x14 <> x23), (x14 <> x24), (x23 <> x24)]); assert (&& [(x31 <> x32), (x31 <> x41), (x31 <> x42), (x32 <> x41), (x32 <> x42), (x41 <> x42)]); assert (&& [(x33 <> x34), (x33 <> x43), (x33 <> x44), (x34 <> x43), (x34 <> x44), (x43 <> x44)]); (* pre assinged values *) (** * 1 2 3 4 * +---+---+---+---+ * 1 | | | | 4 | * +---+---+---+---+ * 2 | | | 1 | 2 | * +---+---+---+---+ * 3 | | 1 | 4 | 3 | * +---+---+---+---+ * 4 | 4 | 3 | 2 | 1 | * +---+---+---+---+ *) assert (x14 == Int 4); assert (x23 == Int 1); assert (x24 == Int 2); assert (x32 == Int 1); assert (x33 == Int 4); assert (x34 == Int 3); assert (x41 == Int 4); assert (x42 == Int 3); assert (x43 == Int 2); assert (x44 == Int 1); check ctx Z3.Z3_lbool.Z3_L_TRUE end)
これを実行してみると、以下のように制約を満たすモデルを出力します。
z3sml.git$ make sample3 SML# [sample/sample3.o] ./sample/sample3 sat v43 -> 2 v24 -> 2 v34 -> 3 v12 -> 2 v14 -> 4 v21 -> 3 v41 -> 4 v33 -> 4 v42 -> 3 v23 -> 1 v32 -> 1 v31 -> 2 v22 -> 4 v11 -> 1 v44 -> 1 v13 -> 3
これを並べてみると以下のようになり、確かに解けていることが分かります。
1 2 3 4 +---+---+---+---+ 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | +---+---+---+---+ 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | +---+---+---+---+ 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | +---+---+---+---+ 4 | 4 | 3 | 2 | 1 | +---+---+---+---+
コード例(定理証明)
次は定理証明の例です。サンプルコード(sample/sample2.sml)に全体があります。
(* 命題 f が成り立つことを証明する補助関数 *) fun prove ctx f is_valid = local_ctx ctx (fn ctx => let val not_f = Z3_mk_not (ctx, f) val () = D.Z3_assert_cnstr (ctx, not_f) val m : Z3_model ref = ref (Ptr.NULL()) val ret = D.Z3_check_and_get_model (ctx, m) val ref m = m in case ret of Z3_lbool.Z3_L_FALSE => ... | Z3_lbool.Z3_L_UNDEF => ... | Z3_lbool.Z3_L_TRUE => ... end) fun main () = with_context (fn ctx => let infix 4 == fun p == q = Z3_mk_eq (ctx, p, q) infix 8 $ fun f $ x = Z3_mk_app (ctx, f, Vector.fromList [x]) (* create uninterpreted type *) val U = Z3_mk_uninterpreted_sort (ctx, Z3_mk_string_symbol (ctx, "U")) (* g : U -> U *) val g = Z3_mk_func_decl (ctx, Z3_mk_string_symbol (ctx, "g"), Vector.fromList[U], U) (* create x and y *) val x = Z3_mk_const (ctx, Z3_mk_string_symbol(ctx, "x"), U) val y = Z3_mk_const (ctx, Z3_mk_string_symbol(ctx, "y"), U) in D.Z3_assert_cnstr (ctx, x == y); (* x == y と仮定 *) (* g x == g y となることを証明 *) print "prove: x = y ==> g(x) = g(y)\n"; prove ctx (g $ x == g $ y) Z3_TRUE; (* g (g x) == g y とは(一般には)ならないことを証明 *) print "disprove: x = y implies g(g(x)) = g(y)\n"; prove ctx (g $ (g $ x) == g $ y) Z3_FALSE end)
内容はコメントから察してもらうとして重要なのは prove です。
prove 関数の冒頭部分に注目してみると、上で説明した定理証明の形がそのまま現れていることが分かります。
fun prove ... = ... val not_f = Z3_mk_not (ctx, f) (* 命題 f の否定を作る *) val () = D.Z3_assert_cnstr (ctx, not_f) (* (not f) が成り立つよ と仮定してみる *) val m : Z3_model ref = ref (Ptr.NULL()) val ret = D.Z3_check_and_get_model (ctx, m) (* 否定した命題を満たすモデルがあるか検証 *) ...
その他の例
さらなる例としては冒頭紹介した、 sample ターゲットで使用する
sample/example.sml が z3/path/to/example.c(公式のC APIのサンプル) をSMLに移植したものとなっているので見てみるとよいでしょう。
広範囲のAPIを使用するサンプルコードが多く含まれて居ます*4。
binding/naming規則
以下でbindingと命名の規則を示します。
各APIの説明は公式のC APIドキュメントで確認してください。
関数
C APIと同名の関数が structure Z3 から提供される。
ただしdeprecatedなやつはstructure Z3.Deprecated の中にある。
例えばC言語で Z3_xxx という名前の関数はSMLでは Z3.Z3_xxx という名前になる。
Z3の型
ほぼ全てのopaqueポインタはstructure Z3から提供される。これらはSMLでもopaqueポインタ型になっている。
例えば Z3_ast 型は Z3.Z3_ast (= Z3.Tag.Z3_ast ptr) として表現される。
Z3.Tag.Z3_ast 型はopaqueなのでデリファレンスは出来ないが nullable になっている。(引数経由で受け取るAPIあるから仕方ないんや…)
Enum
全てのenum型はC APIと同名のstructureとして、バリアントは(当然)コンストラクタとして提供される。
またそれぞれのstructureには val fromInt : int -> t と val toInt : t -> int が提供され、int型の値と相互に変換できる。
例えば Z3_symbol_kind は以下のようなシグネチャを持つ。
structure Z3_symbol_kind = struct datatype t = Z3_INT_SYMBOL | Z3_STRING_SYMBOL val fromInt : int -> t val toInt : t -> int end
以上！
SML#用の z3 バインディングを紹介しました！
現状ではCと同じインターフェースしか含んでいないのでSML的な便利インターフェースを提供していきたいです。
次は古参SML#er よんた(@keita44_f4) さんの番です期待しませう +(0ﾟ・∀・) +
